Всего: 26 1–20 | 21–26
Добавить в вариант
мы получаем 
откуда 
откуда 
Тогда
—
чтд.Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. 
тогда 
Далее, 
и 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
и 
удобно сделать замену 
откуда 
точку касания вписанной окружности со стороной 
пусть 
и 
Torда M 
и 
как отрезки касательных. Также нетрудно подсчитать, что 
и 
Далее заметим, что точка K лежит либо вне описанной окружности треугольника 
либо на этой окружности, поэтому 
Мы знаем, чему равны углы, смежные к данным, поэтому легко можем вычислить и их самих: 
Откуда получаем неравенство 
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Окружность с центром в точке Ob проходит через точки A, C1 и середину отрезка BH. Окружность с центром в точке Oc проходит через точки A, B1 и середину отрезка CH. Докажите, что 
и, аналогично, 
Это неравенство следует из удивительного факта: расстояние от точки 
до прямой AC равно в точности 
симметрична вершине B относительно прямой AC. Проверим, что она лежит на окружности 
Для этого нужно доказать, что 
В самом деле, 
Таким образом, центр 
окружности w должен лежать на серединном перпендикуляре к ее хорде 
Значит, расстояние от 
и 
Оно в два раза меньше, чем расстояние от M до B, то есть равно 
что и требовалось.На столе стоят на основаниях три конуса, касаясь друг друга. Радиусы их оснований равны 1, 4 и 4, углы при 
и 
соответственно (углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении). На стол положили шар, касающийся всех конусов. Найдите радиус шара.
точка касания шара со столом, 2α и 2β — углы при вершине первого и второго конусов. На верхнем рисунке показано сечение первого конуса плоскостью COO1, Касание шара с первым конусом означает, что перпендикуляр OE, опущенный из точки O на образующую PB, равен R. Действительно, в этом случае шар и конус касаются плоскости, проходящей через образующую PB перпендикулярно сечению, и лежат по разные стороны от нее. Поэтому шар касается прямых BC и BE в точках C и E, откуда 
и
и 
или 
Необходимо, чтобы шар касался образующих конусов, а не их продолжений за вершину. Это означает, что 
и 
Первое условие эквивалентно 
Второе условие приводится к неравенству 
Их удалось разместить так, что все пирамиды имеют общее боковое ребро и общую вершину. Найдите максимальное значение стороны основания пирамид.
так как треугольники ASB и BSC равны. По теореме косинусов 
Поскольку эти углы не налегают друг на друга, мы получим 
откуда 
Выразим объем пирамиды. Пусть SD — апофема пирамиды, SO — ее высота. Тогда 
возрастает на [−1, 1), мы получаем 
и 
Равенство реализуется, если 
то есть в случае, когда между пирамидами нет зазоров.Из металла отлито m одинаковых правильных пирамид (
). Их удалось склеить так, что у них есть общее ребро и каждая пирамида имеет общую боковую грань ровно с двумя из остальных. Найдите минимальное значение плоского угла при вершине пирамид.
мы получаем 
где 
Тогда 
и 
реализуется при 
и 
В этом случае 
и 
Аналогично, 
Справедливы ли следующие утверждения:
а) Если для любой точки M внутри треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник, то ABC равносторонний?
б) Для любой точки M внутри равностороннего треугольника ABC из отрезков MA, MB и MC можно составить треугольник?
Если M совпадает с точкой A, то 
Возьмем точку D внутри треугольника ABC, чтобы она лежала внутри круга радиуса dc центром в точке A. Тогда 
и 
Поэтому 
Тогда треугольник 
равносторонний (так как 
и 
Стороны треугольника 
равны отрезкам MA, MB и MC. Действительно, 
а 
(при повороте отрезок MA занимает положение 
что и требовалось доказать. Другой способ решения основан на двух неравенствах: 
и 
где a — сторона треугольника.
Тогда 
и 
Значит, равными сторонами в треугольнике AMB являются AM и BM.
будет соответствовать 17 баллам.Дан неравносторонний треугольник со сторонами a, b, c. Если существует треугольник со сторонами 
то рассматривают этот новый треугольник и с ним проделывают ту же процедуру (и т. д.), в противном случае процесс заканчивается.
а) Может ли в этом процессе встретиться треугольник, подобный исходному?
б) Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
тогда три новых числа, очевидно, будут удовлетворять неравенствам 
равная разности между наибольшей и наименьшей стороной, после одной процедуры будет равна 
а после n-ой процедуры будет 
Значит, если бы на n ом шаге треугольник оказался подобен исходному, то коэффициент подобия был бы равен 2n, но, с другой стороны, большая сторона за каждый шаг увеличивается менее, чем в два раза: действительно, в противном случае получили бы неравенство 
растет как геометрическая прогрессия со знаменателем 2, она станет больше периметра, но это, очевидно, противоречит положительности всех трех сторон треугольника. Комментарий. Рассуждение пункта б), основанное на сохранении периметра, могло быть применено и в пункте a): тогда из подобия треугольников следовало бы их равенство.
В треугольнике ABD 
аналогично 
В треугольнике AOD, где O — точка пересечения диагоналей, 
а значит, меньший угол не больше чем 60°, как смежный.
втоpoe — при всех положительных a, третье — при 
где 
— так называемое золотое сечение, положительный корень квадратного уравнения 
Следовательно, треугольник с такими сторонами существует при 
При таких же а существует треугольник со сторонами 1, 
и 
Пусть далее значение a принадлежит отрезку 
для которой 
и 
а также точку C в полуплоскости 
для которой 
и 
(см. рис.). По доказанному выше такие точки существуют для всех 
Кроме того, треугольники ОAB и ОBC подобны по трем пропорциональным сторонам. Значит, 
и 
Поскольку 
угол AOB, лежащий напротив стороны a треугольника OAB, меньше 
Отсюда получаем, что 
и 
Из этих уравнений получаем 
и 
Аналогично доказывается, что координаты точки C также непрерывно зависят от a на этом отрезке. Следовательно, длина диагонали AC четырехугольника OABC, равная g(a), также непрерывно зависит от a на этом отрезке.
треугольники OAB и OBC являются равносторонними со стороной 1, поэтому 
При 
получаем 
функция 
принимает в концах этого отрезка значения разных знаков: 
и 
Поэтому найдется такое значение 
при котором 
и, следовательно, 
Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек X внутри треугольника ABC, для которых выполняется условие 
Пусть G — точка пересечения меди ан треугольника ABC. Представим 
условие (*) выполняется: 
Тогда
с центром в точке 
Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику ABC. Для этого найдем расстояния от точки K до сторон треугольника. Уравнение стороны AB: 
расстояние до неё равно 
расстояние 
Наименьшее из расстояний d2, тем не менее, больше, чем радиус круга R: 
Поэтому весь круг и является той фигурой, площадь которой требуется найти, откуда 
Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек A внутри треугольника XYZ, для которых выполняется условие 
и 
условие (*) выполняется: 
равна 1. Основание высоты делит эту сторону на отрезки, равные 
и 
Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда 
Значит,
с центром в точке 
Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику XYZ. Для этого найдем расстояния от точки K до сторон треугольника. Уравнение стороны XY: 
расстояние до нее равно
paccтоние 
Поэтому круг принадлежит треугольнику, отсюда искомая площадь равна 
На дне вертикального цилиндрического сосуда с радиусом основания R лежит шар радиуса r. В сосуд налита жидкость так, что ее поверхность является касательной к поверхности шара. Этот шар заменили другим — меньшего радиуса. Жидкость при этом не вылилась из сосуда и не доливалась в него. Оказалось, что новый шар лежит на дне цилиндра, а поверхность жидкости опять является касательной к поверхности шара. При каких значениях соотношения 
можно наблюдать такое явление при замене шара другим шаром меньшего радиуса?
Обозначим радиус второго шара ρ, тогда объем жидкости не изменится: 
и записав в виде 
то 
поэтому, решив неравенство 
получим: 
откуда 